UNA DETERMINANTE DE 3X3 EN 5 LÍNEAS 

El determinante de una matriz suele utilizarse con frecuencia en operaciones de cálculo, álgebra lineal y geometría descriptiva a un nivel más complejo. Fuera del mundo académico, los ingenieros y los programadores gráficos utilizas las matrices y sus determinantes constantemente.

Si sabes cómo hallar el determinante de una matriz de 2x2, las únicas herramientas que tendrás que utilizar serán la suma, la resta y la multiplicación.

Escribe la matriz de 3x3. Empezaremos con una matriz de 3x3 llamada A, y trataremos de hallar su determinante |A|. Aquí tienes la notación general de matrices que utilizaremos, y la matriz de ejemplo:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Elige una sola fila o columna. Esta será tu fila o columna de referencia. Obtendrás la misma respuesta, independientemente de la fila o columna que elijas. Por ahora, elige la primera fila. Más adelante, ofreceremos algunos consejos para elegir la opción más adecuada para facilitar el cálculo.

• Elijamos la primera fila de nuestra matriz de ejemplo A. Rodea la fila 1 5 3. Utilizando términos generales, rodea la fila a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Tacha la fila y la columna del primer elemento. Observa la fila o la columna que hayas rodeado y localiza el primer elemento. Traza una línea a lo largo de la fila y la columna que incluyan este elemento. Ahora, quedarán cuatro números que podremos tratar como una matriz de 2x2.

• En nuestro ejemplo la fila de referencia es 1 5 3. El primer elemento está en la fila 1 y en la columna 1. Tacha toda la fila 1 y la columna 1. Escribe los demás elementos en forma de matriz de 2x2:
•  1  5 3
•  2  4 7
•  4  6 2
• 1. Halla el determinante de la matriz de 2x2. Recuerda que la matriz [^a_c   ^b_d] tiene un determinante de ad - bc.^[2] Tal vez hayas aprendido a hacerlo trazando una X sobre la matriz de 2x2. Multiplica los dos números unidos por la línea \ de la X. Después, resta el producto de los dos números unidos por la línea /. Utiliza esta forma para calcular el determinante de la matriz que acabas de hallar.

     • En nuestro ejemplo, el determinante de la matriz [⁴₆   ⁷₂] = 4*2 - 7*6 = -34.
     • Este determinante es el menor de los elementos que podemos elegir en la matriz original^[3] En este caso, hemos hallado el menor de a₁₁.
  2. Multiplica el resultado por el elemento elegido. Recuerda que podrás elegir un elemento de la fila o la columna de referencia una vez que hayas decidido qué fila y qué columna tachar. Multiplica este elemento por el determinante que acabas de calcular para la matriz de 2x2.

     • En nuestro ejemplo, hemos seleccionado a₁₁, que tiene un valor igual a 1. Multiplica este valor por -34 (el determinante de la matriz de 2x2) para obtener 1*-34 = -34.
  3. Define el signo del resultado. A continuación, tendrás que multiplicar la respuesta por 1 o por -1 para hallar el adjunto del elemento elegido. La cifra utilizada dependerá del lugar en el que se encuentre el elemento dentro de la matriz de 3x3. Memoriza esta sencilla lista para saber qué signo le corresponde a cada elemento:

     • + - +
     • - + -
     • + - +
     • Dado que hemos elegido el elemento a₁₁, marcado con un signo +, debemos multiplicar el número por +1. En otras palabras: déjalo tal como está. El resultado sigue siendo -34.
     • Otra opción consiste en hallar el signo con la fórmula (-1)^i+j, donde i y j son la fila y la columna del elemento elegido.^[4]
  4. 
     
     Repite este proceso con el segundo elemento de tu fila o columna de referencia. Vuelve a la matriz original de 3x3, con la fila o la columna anteriormente rodeada. Repite el mismo proceso con este elemento:

     • Tacha la fila y la columna en las que se encuentre dicho elemento. En nuestro caso, seleccionamos el elemento a₁₂ (con un valor igual a 5). Tacha la primera fila (1 5 3) y la segunda columna (5 4 6).
     • Trata los demás elementos como si pertenecieran a una matriz de 2x2. En nuestro ejemplo, la matriz es [²₄   ⁷₂].
     • Halla el determinante de esta matriz de 2x2. Utiliza la fórmula de ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
     • Multiplica el resultado por el elemento elegido de la matriz de 3x3. -24 * 5 = -120
     • Determina si debes multiplicar el resultado por -1. Utiliza la lista de signos o la fórmula de ^ij. Nosotros hemos elegido el elemento a₁₂, que coincide con el signo - en la lista. Por lo tanto, debemos cambiar el signo del resultado: (-1)*(-120) = 120.
  5. 
     
     Repite el proceso con el tercer elemento. Tienes que hallar un adjunto más. Calcula i para el tercer término de la fila o columna de referencia. Aquí tienes un resumen rápido del procedimiento que debes seguir para calcular el adjunto de a₁₃ en nuestro ejemplo:

     • Tacha la fila 1 y la columna 3 para obtener [²₄   ⁴₆].
     • Su determinante es 2*6 - 4*4 = -4.
     • Multiplica el resultado por el elemento a₁₃: -4 * 3 = -12.
     • El elemento a₁₃ coincide con el signo + en la lista, por lo que el resultado es -12.
  6. 
     
     Suma los tres resultados. Este es el último paso. Ya tienes los tres adjuntos calculados, uno por cada elemento de una fila o columna. Súmalos y hallarás el determinante de la matriz de 3x3.

     • En nuestro ejemplo, el determinante es -34 + 120 + -12 = 74.